För en tid sedan postade jag en kluring eller vad man skall kalla den. Den handlade om en ‘Elak Furste’ och kan återfinnas här. Jag tänkte att det var dags att posta mitt förslag till lösning.
För att förstå lösningen måste man resonera litegrann kring fördelningen av träd mellan delarna av trädgården som A och B ser. I uppgiften anges att B ser 8 träd, men låt oss istället antaga att B ser 20 träd. Då skulle B redan första gången vakten kommer kunna resonera något i stil med “Duh, jag ser ju fler än 18 träd, så uppenbarligen finns det 20 träd i trädgården.” Samma sak gäller förstås om det istället är A som ser 20 träd.
Den skarpsynte ser direkt att detta resonemang även håller för fördelningen 1/19 eftersom 19 > 18.
För fördelningen 0/18 blir det mer spännande. Första gången vakten kommer kan B inte veta om fördelningen är 0/18 eller 2/18. Liknande kan A inte veta om B ser 18 eller 20 träd. Dock ändras detta dag 2. När vakten kommer andra gången kan A dra slutsatsen att B uppenbarligen inte ser 20 träd. Hade så varit fallet hade B gifvetvis sagt detta, och de båda hade varit fria redan förra dagen. Därför kan A med säkerhet veta att fördelningen är 0/18.
Återigen fungerar detta resonemang även för fördelningen 1/17. I fortsättingen kommer enbart de ‘jämna’ fördelningarna redovisas.
Om man stegar samma resonemang ytterligare för fördelningen 2/18 kan B veta säkert andra gången vakten kommer att det finns 20 träd i trädgården totalt, för om det funnits 18 träd totalt hade fördelningen varit den nyss nämnda, och då hade A redan svarat.
Tabellen nedan redovisar fallen [A ser 0:12 träd].
Tabellmall:
- (x:n/m) – x ser antingen n eller m träd, så jag har ingen aning vilket som stämmer och väljer att inte svara
- (x|n~y)n – x måste se n träd, för annars hade x svarat som på rad y, jag svarar k träd
- (n>m)n – Jag ser n träd. n är större än m, alltså är svaret n. (Detta gäller för ojämna fördelningar med modifikationen (n>m)n+1
| |
Dag 1 |
Dag 2 |
Dag 3 |
Dag 4 |
Dag 5 |
Dag 6 |
Dag 7 |
| Rad # |
A ser |
B ser |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
| 1 |
0 |
20 |
(b:18/20) |
(20>18)20 |
| 2 |
0 |
18 |
(b:18/20) |
(a:0/2) |
(b|18~1)18 |
| 3 |
2 |
18 |
(b:16/18) |
(a:0/2) |
(b:16/18) |
(a|2~2)20 |
| 4 |
2 |
16 |
(b:16/18) |
(a:2/4) |
(b:16/18) |
(a:2/4) |
(b|16~3)18 |
| 5 |
4 |
16 |
(b:14/16) |
(a:2/4) |
(b:14/16) |
(a:2/4) |
(b:14/16) |
(a|4~4)20 |
| 6 |
4 |
14 |
(b:14/16) |
(a:4/6) |
(b:14/16) |
(a:4/6) |
(b:14/16) |
(a:4/6) |
(b|14~5)18 |
| 7 |
6 |
14 |
(b:12/14) |
(a:4/6) |
(b:12/14) |
(a:4/6) |
(b:12/14) |
(a:4/6) |
(b:12/14) |
(a|6~6)20 |
| 8 |
6 |
12 |
(b:12/14) |
(a:6/8) |
(b:12/14) |
(a:6/8) |
(b:12/14) |
(a:6/8) |
(b:12/14) |
(a:6/8) |
(b|12~7)18 |
| 9 |
8 |
12 |
(b:10/12) |
(a:6/8) |
(b:10/12) |
(a:6/8) |
(b:10/12) |
(a:6/8) |
(b:10/12) |
(a:6/8) |
(b:10/12) |
(a|8~8)20 |
| 10 |
8 |
10 |
(b:10/12) |
(a:8/10) |
(b:10/12) |
(a:8/10) |
(b:10/12) |
(a:8/10) |
(b:10/12) |
(a:8/10) |
(b:10/12) |
(a:8/10) |
(b|10~9)18 |
| 11 |
10 |
10 |
(b:8/10) |
(a:8/10) |
(b:8/10) |
(a:8/10) |
(b:8/10) |
(a:8/10) |
(b:8/10) |
(a:8/10) |
(b:8/10) |
(a:8/10) |
(b:8/10) |
(a|10~10)20 |
| 12 |
10 |
8 |
(b:8/10) |
(a:10/12) |
(b:8/10) |
(a:10/12) |
(b:8/10) |
(a:10/12) |
(b:8/10) |
(a:10/12) |
(b:8/10) |
(a:10/12) |
(b:8/10) |
(a:10/12) |
(b|8~11)18 |
| 13 |
12 |
8 |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b:6/8) |
(a|12~12)20 |
Vår sökta fördelning 12/8 återfinner vi på rad 13. Där ser vi att B kommer kunna svara på frågan när vakten kommer på den sjunde dagen.
…nu är det dock inte riktigt så enkelt. Om vi istället utgår från att A ser 20 träd och stegar igenom tabellen åt andra hållet ser vi följande.
| |
Dag 1 |
Dag 2 |
Dag 3 |
Dag 4 |
Dag 5 |
| Rad # |
A ser |
B ser |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
A svarar |
B svarar |
| 1 |
20 |
0 |
(20>18)20 |
| 2 |
18 |
0 |
(b:0/2) |
(a|18~1)18 |
| 3 |
18 |
2 |
(b:0/2) |
(a:16/18) |
(b|2~2)20 |
| 4 |
16 |
2 |
(b:2/4) |
(a:16/18) |
(b:2/4) |
(a|16~3)18 |
| 5 |
16 |
4 |
(b:2/4) |
(a:14/16) |
(b:2/4) |
(a:14/16) |
(b|4~4)20 |
| 6 |
14 |
4 |
(b:4/6) |
(a:14/16) |
(b:4/6) |
(a:14/16) |
(b:4/6) |
(a|14~5)18 |
| 7 |
14 |
6 |
(b:4/6) |
(a:12/14) |
(b:4/6) |
(a:12/14) |
(b:4/6) |
(a:12/14) |
(b|6~6)20 |
| 8 |
12 |
6 |
(b:6/8) |
(a:12/14) |
(b:6/8) |
(a:12/14) |
(b:6/8) |
(a:12/14) |
(b:6/8) |
(a|12~7)18 |
| 9 |
12 |
8 |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b:6/8) |
(a:10/12) |
(b|8~8)20 |
Två olika sätt att resonera. Två olika lösningar. Två olika svar.
Förutsatt att jag inte räknat fel någonstans, och att båda lösningarna är giltiga resonemang, så kommer de i så fall att kortsluta varandra, eftersom de infogar i varandra möjliga andra lösningar. Rätt svar på frågan är i sådant fall att det inte finns något svar, alternativt att fångarna aldrig släpps ut.
y/n?
Edit: Diskussion här.